教程示例工程【免费下载链接】cosmosWorlds largest Contributor driven code dataset | Used in Quark Search Engine, OpenGenus IQ, OpenGenus Visual Project项目地址https://gitcode.com/gh_mirrors/co/cosmos点击查看免费下载本篇技术指南围绕开源算法仓库 Cosmos 中code/mathematical_algorithms/src/delannoy_number/目录下的文档与源码展开系统讲解 Delannoy 数的组合定义、递推关系、边界条件并逐行剖析仓库内 C、C、Python 三种语言的递归实现。读完本文你将掌握 Delannoy 数的数学背景、朴素递归实现的复杂度瓶颈以及如何将仓库代码扩展为记忆化/动态规划版本以处理更大的输入。Delannoy 数是什么从网格路径说起仓库文档 delannoy_number/README.md 给出了简洁而准确的定义A Delannoy number D describes the number of paths from the southwest corner (0, 0) of a rectangular grid to the northeast corner (m, n), using only single steps north, northeast, or east.即在m × n矩形网格中从西南角(0, 0)出发走到东北角(m, n)每一步只允许三种走法向北north(x, y) → (x, y1)向东east(x, y) → (x1, y)向东北northeast对角步(x, y) → (x1, y1)满足上述条件的路径总数就是 Delannoy 数D(m, n)。它与经典的格路计数问题仅允许东/北两步不同——多出的对角线一步让 Delannoy 数成为组合数学中一个独立且重要的计数对象。递推关系与边界条件Delannoy 数满足如下二元递推关系这也是仓库三种语言实现共用的核心逻辑D(m, n) D(m-1, n) D(m, n-1) D(m-1, n-1)边界条件为D(0, n) D(m, 0) 1边界条件的直观含义若网格某一维度为 0即退化为一条直线行或列此时从(0, 0)到(m, 0)或(0, n)只有唯一一条直走路径因此值为 1。由递推关系可以直接验证对称性D(m, n) D(n, m)并且可以手工推出前几项小表m \ n01234011111113579215132541317256312941941129321对角线上的1, 3, 13, 63, 321, ...称为中心 Delannoy 数Central Delannoy Numbers对应D(n, n)。表中任意非边界元素都可由其左、下、左下三个邻值相加得到例如D(2,2) D(1,2) D(2,1) D(1,1) 5 5 3 13。除递推形式外Delannoy 数还存在常用的组合闭式表达可由路径计数中对角步出现 k 次这一思路推导验证D(m, n) Σ_{k0}^{min(m,n)} C(m, k) · C(n, k) · 2^k其中C(m, k)为组合数2^k对应 k 个对角步在水平/垂直方向上的拆分方式。仓库源码逐行解析该目录下共包含一份说明文档与三份同构的递归实现三者算法逻辑完全一致仅语言语法不同。C 实现文件delannoy_number.cint DelannoyGenerator(int m, int n) { int d 1; if ((m 0) || (n 0)) d 1; else d DelannoyGenerator(m - 1, n) DelannoyGenerator(m, n - 1) DelannoyGenerator(m - 1, n - 1); return (d); }核心逻辑集中在 delannoy_number.c#L3-L13第 6-8 行边界条件m 0或n 0时直接返回 1第 10 行递归展开三个子问题(m-1, n)、(m, n-1)、(m-1, n-1)并求和。main函数delannoy_number.c#L15-L30通过scanf从标准输入读取m与n调用DelannoyGenerator后打印结果。C 实现文件delannoy_number.cpp// Part of Cosmos by OpenGenus Foundation int DelannoyGenerator(int n, int m) { int d 1; if ((n 0) || (m 0)) d 1; else d DelannoyGenerator(n - 1, m) DelannoyGenerator(n, m - 1) DelannoyGenerator(n - 1, m - 1); return d; }C 实现 与 C 版逐行对应仅参数顺序写作(n, m)再次印证了D(m, n) D(n, m)的对称性。main使用std::cin/std::cout完成输入输出delannoy_number.cpp#L15-L30文件首行注释表明该实现出自 CosmosOpenGenus Foundation项目。Python 实现文件delannoy_number.pydef DelannoyGenerator(n,m): if n0 or m0: d 1 else: d DelannoyGenerator(n-1,m) DelannoyGenerator(n,m-1) DelannoyGenerator(n-1,m-1) return d n int(input(Provide the n value: )) m int(input(Provide the m value: )) print(fThe delannoy number is: {DelannoyGenerator(n,m)})Python 实现 用if n0 or m0直接命中边界条件函数体其余部分与 C/C 完全等价属于教科书式的直接递归翻译。复杂度分析朴素递归的代价从源码结构可以清晰推断其时间复杂度DelannoyGenerator(m, n)每层递归都会产生3 个分支递归树规模随m n指数级膨胀复杂度为O(3^(mn))空间复杂度为O(m n)递归调用栈深度。这意味着小规模输入如D(4, 4) 321可以立即返回输入稍大如m n 20时递归调用次数将达到天文数字程序会明显卡顿甚至无法在合理时间内结束同时递推过程中存在大量重复子问题——例如D(m-1, n-1)会在多个分支中被反复计算。这一点从 递归实现 本身即可确认它没有任何缓存机制完全依赖重复展开。进阶将仓库实现升级为记忆化 / 动态规划版本仓库当前仅提供朴素递归版本利用上文指出的重叠子问题特征可以将其自然扩展为自顶向下的记忆化搜索或自底向上的二维动态规划将复杂度降至O(m × n)。以下给出与原仓库接口保持一致的记忆化 Python 参考实现对仓库代码的合理延伸def DelannoyGeneratorDP(m, n, memoNone): if memo is None: memo {} if m 0 or n 0: return 1 key (m, n) if key not in memo: memo[key] (DelannoyGeneratorDP(m - 1, n, memo) DelannoyGeneratorDP(m, n - 1, memo) DelannoyGeneratorDP(m - 1, n - 1, memo)) return memo[key]自底向上版本可直接构建(m1) × (n1)的二维表逐行按递推公式填充dp[i][j] dp[i-1][j] dp[i][j-1] dp[i-1][j-1]并初始化dp[0][j] dp[i][0] 1。两种方式都能在毫秒级内算出D(100, 100)这类结果。需要提示的是Delannoy 数增长极快中心 Delannoy 数呈指数增长实际使用中应考虑long long或大整数类型仓库的 C/C 版本采用int在输入稍大时会溢出这一点从 delannoy_number.c#L3-L4 的返回类型可以确认。编译与运行方式三份实现均为独立可运行程序无需额外依赖# C 版本 gcc delannoy_number.c -o delannoy_c ./delannoy_c # 依次输入 m、n例如 3 3得到 63 # C 版本 g delannoy_number.cpp -o delannoy_cpp ./delannoy_cpp # 依次输入 n、m例如 3 3得到 63 # Python 版本 python3 delannoy_number.py # 依次输入 n、m例如 3 3得到 63验证示例D(3, 3) 63、D(4, 2) 41均与上文表格一致。相关资源与延伸阅读该目录所属的数学算法总览mathematical_algorithms/src/README.md同样基于递推/计数思想的其他数学实现code/mathematical_algorithms/src/catalan_number/、code/mathematical_algorithms/src/binomial_coefficient/若想深入递推与动态规划的一般方法论可参考仓库的 dynamic_programming/src/README.md 及其下的subset_sum、longest_common_subsequence等经典案例体会重叠子问题 记忆化这一通用优化范式。小结Delannoy 数是一类优雅的网格路径计数问题其核心定义与三行递推在 README.md 及其配套的 C/C/Python 源码中得到了简洁而完整的呈现。理解朴素递归的指数级开销、掌握记忆化与二维 DP 的优化路径是把这份仓库代码真正用于实战的关键一步。赞分享教程示例工程【免费下载链接】cosmosWorlds largest Contributor driven code dataset | Used in Quark Search Engine, OpenGenus IQ, OpenGenus Visual Project项目地址https://gitcode.com/gh_mirrors/co/cosmos点击查看免费下载相关推荐Cosmos 仓库自守数Automorphic Number完全指南数学定义、判定原理与 12 种语言实现Cosmos 仓库自守数Automorphic Number完全指南数学定义、判定原理与 12 种语言实现 导读 自守数Automorphic Numb教程示例工程Cosmos 仓库中的阿姆斯特朗数Armstrong Number算法定义、原理与 9 种语言实现Cosmos 仓库中的阿姆斯特朗数Armstrong Number算法定义、原理与 9 种语言实现 导读 阿姆斯特朗数Armstrong Number教程示例工程Cosmos 仓库 GCD 与 LCM 算法全解析从数学定义到多语言实现Cosmos 仓库 GCD 与 LCM 算法全解析从数学定义到多语言实现 导读 本文以 OpenGenus Cosmos 代码仓库中 gcd_and_lcm教程示例工程创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
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