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【零基础学智能仿真-30】二维有限元的形函数与数值积分:从三角形到四边形

发布时间:2026/9/27 8:06:46 来源:云帆数科 栏目:资讯中心
【零基础学智能仿真-30】二维有限元的形函数与数值积分:从三角形到四边形
课程摘要上一节用一维杆说明了弱形式如何产生单元方程。本节走进二维:先用三节点三角形单元推导形函数、雅可比矩阵和应变矩阵,再用一个线性位移场检验计算结果;随后以四节点矩形单元比较单点积分与 \(2\times2\) 高斯积分。通过两个可核对的小实验,理解“怎样描述单元内的场”和“怎样算准单元上的积分”是有限元精度的两个不同问题。一、上一节的公式,到了二维会怎样?上一节的一维杆单元刚度可以写成:\[ \boldsymbol K_e = \int_{\Omega_e} \boldsymbol B^{\mathsf T}\boldsymbol D\boldsymbol B \,\mathrm d\Omega. \]当时,形函数负责描述单元内的位移,\(\boldsymbol B\) 负责把位移转换为应变;因为杆的参数和 \(\boldsymbol B\) 都是常数,积分很容易完成。到了二维,思路没有变,但多了两个问题:单元内某一点的位移,怎样由周围节点的位移得到?——这是形函数的工作。三角形或四边形上的积分,怎样计算?——这需要坐标映射和数值积分。

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