从单腿弹跳到四足平衡：SLIP虚拟腿与三段式控制律实战

简介这份PDF文档对应Marc H. Raibert所著《Legged Robots that Balance》面向足式机器人、运动控制与人工智能方向的研究者及高年级学生聚焦机器人如何通过主动平衡与动态控制实现稳定站立、行走和奔跑。内容从早期弹性腿实验、单腿弹跳杆原型与Leg实验室研究展开系统讨论主动平衡、运动控制分解、动力学建模、传感器融合和闭环反馈等关键问题。文档还呈现研究动机、腿式机械与主动平衡研究史、奔跑机器人控制分解、三维空间运动及多腿机器人奔跑等章节线索兼具经典理论脉络与实验案例参考价值。压缩包仅含1个PDF文件大小约7.13MB便于集中阅读和检索目前已有395人学习适合作为足式机器人平衡算法的入门梳理或课程专题延伸材料。1. 单腿蹦跳为什么能撑起四足平衡从“Legged Robots that Balance”的极简模型说起把一台四足机器人的十二个关节全部锁死只留一条能伸缩的腿它还能站住吗这个听起来像自废武功的问题恰恰是《Legged Robots that Balance》这份文档反复在回答的事。足式机器人平衡算法的核心不在于关节数量而在于能不能把整机压缩成一条会弹的虚拟腿再用三条互相解耦的规则分别处理高度、姿态和速度。适合谁读正在做四足或双足样机、被“仿真稳、实机晃”折磨过的控制工程师以及想从零搭一台单腿弹跳平台验证控制律的学生。读完之后你该能自己列出参数表、写出控制律、并且知道哪几个数字一动就会翻车。2. 把十二个关节压成一条虚拟腿SLIP 模型的解耦假设与三个关键参数2.1 凭什么敢用三个状态量描述一台四足机SLIP弹簧负载倒立摆模型的全部内容是把整机质量集中到一个质点上把腿等效成一根没有质量、只有刚度和阻尼的弹簧触地期间只沿腿方向出力不产生绕髋的力矩。这样一来触地阶段的动力学方程从“十二自由度刚体加接触约束”塌缩成平面内的两自由度加一个姿态角三个状态量就能描述。代价也很清楚虚拟腿只出径向力机身俯仰就没有任何回复力矩姿态必须由另一套执行器单独处理。这正是三段式控制律要拆成三段的原因——它们本来就是被解耦假设切开的三个独立子系统并非为了好看才拆。这个假设成立有前提我一般会在选型阶段就核对三条单腿等效质量不超过整机质量的 15%。超过这个比例摆腿产生的反作用力矩会直接推动机身俯仰虚拟腿假设从第一步就破了。触地时间要短。支撑相占整个步态周期的比例建议在 0.35 到 0.5 之间触地时间越长姿态耦合累积得越多。足端不打滑触地瞬间切向冲击小。橡胶足垫在光滑瓷砖上的摩擦系数不足 0.5 时落脚点偏移的控制效果会被打对折。有一个无量纲数很好用Froude 数 Fr v²/(g·L0)其中 v 是前向速度、L0 是标称腿长。工程上 Fr 落在 0.2 到 0.5 之间时单位距离的运输成本最低控制也最稳低于 0.1 会退化成准静态迈步高于 1.0 就开始出现明显的腾空相和落地冲击参数窗口急剧收窄。整定之前先算一遍 Fr能省掉很多瞎调的时间。顺便说清它和 ZMP 那条路的区别避免选错方向维度准静态 ZMP / 支撑多边形动态弹跳 SLIP质心位置约束投影必须落在支撑多边形内允许飞出支撑区靠动量交换典型速度 0.3 m/s0.5–2.0 m/s对腿质量敏感度低高腿部惯量直接破坏解耦参数整定难度低但速度上不去中窗口窄但性能上限高适合场景平地慢走、楼梯、狭窄空间奔跑、越障、抗扰动两条路并非互斥我见过比较务实的做法是低速段用 ZMP 兜底、高速段切到弹跳控制切换点就在 Fr≈0.15 附近。2.2 等效刚度、标称腿长、触地角三个参数怎么定SLIP 落地要定下来的参数其实只有三个剩下的都是它们的派生量。这一节把取值区间和调错的症状一次说清后面整定的时候可以直接查。参数符号常见取值区间物理含义调错的典型表现等效刚度k8–25 kN/m按 15–30 kg 整机折算支撑相把重力势能转成弹性势能的速率偏硬触地冲击大、关节电流尖峰、足端打滑偏软下沉过深、抬腿高度不够、越障失败标称腿长L00.25–0.45 m空载时髋关节到足端的距离偏短行程不足、摆动相来不及收腿偏长摆动惯量大、步频上不去触地角 / 落脚点纵向偏移x_f±0.02–0.10 m支撑相水平反力的方向与大小偏移不足速度跟不上指令偏移过度前后来回振荡越走越晃刚度不要凭感觉给用固有频率反推更靠谱ω sqrt(k/m)弹跳周期 T 2π/ω。控制器的执行周期至少要压到 T/20 以内否则支撑相只有几次采样力控根本来不及响应。一台 20 kg 的机器、k 取 15 kN/mω 约 27 rad/sT 约 0.23 s控制周期就得做到 11 ms 以下基本对应 100 Hz 以上的主控频率。触地角在单腿平台上是一个可以直接给定值的量到了四足机上它变成摆动相末端的落脚点位置由逆运动学算出来。这两件事本质上是一回事只是执行方式不同。提示刚度和标称腿长一旦确定最好写进配置文件并锁死整定其他增益期间不要动它们。刚度变了触地动力学的时间尺度就变了之前调好的姿态增益会全部失效。3. 三段式控制律写进代码高度、姿态、速度各管一段3.1 跳跃高度用落地腿长做能量闭环高度控制的本质是能量控制。机器人每次触地弹簧压缩储存弹性势能支撑相后半段伸腿把能量还回去还给多少决定了下一次弹多高。想跳得更高就多伸一点想跳得低就少伸一点——但伸腿这件事不能用位置指令硬怼必须做成力或者力矩的闭环否则触地瞬间的冲击会被位置环放大成电流尖峰。我一般用“期望腿长轨迹 径向力 PD”的方式实现支撑相前半段给一条收缩的腿长曲线后半段让它回弹到略超过标称腿长的位置PD 环负责跟踪。收缩的深度对应能量注入的多少用一个 0 到 1 的系数调节这个系数就是高度指令的直接映射。高度指令的来源有两种。定高模式用机载 IMU 积分出竖直速度在腾空相顶点估计跳跃高度做慢速外环修正。速度模式就用固定系数简单可靠。前者精度高但对 IMU 零偏敏感后者皮实但抗负载变化差。样机阶段建议先用后者跑通再切前者。3.2 机身姿态髋力矩差动与俯仰 PD 的边界姿态环的存在完全是为了补虚拟腿假设的窟窿。腿只出径向力机身俯仰没有任何回复力矩所以必须让髋关节额外输出一个力矩这个力矩不参与支撑只管姿态。控制律本身平淡无奇俯仰角 PD输出髋关节力矩。真正难的是边界条件。第一力矩不能太大。髋关节力矩会通过腿的反作用传递到足端改变实际的支撑力方向一旦超过径向力的 20% 左右虚拟腿假设就开始失真落脚点控制的效果会莫名其妙地变差。我一般给髋力矩加一个软限幅取当前径向力乘以腿长再乘 0.2。第二角度反馈必须滤波但不能滤太多。触地冲击会直接打进 IMU30 到 50 Hz 的低通是常规操作但滤波带来的相位滞后会让阻尼项失效。经验做法是角度用较低截止频率30 Hz保证干净角速度用较高截止频率80 Hz保证相位两者分开滤波。第三期望俯仰角不是零。四足机在加速时故意给一点抬头或低头的前倾角能让支撑力的水平分量自然对齐加速度方向减小落脚点偏移的负担。这个前倾角一般取 0.03 到 0.08 rad随加速度线性变化。3.3 前向速度落脚点偏移量的那条线性公式速度控制靠落脚点。落脚点放得比“速度中点”靠前一点支撑相的水平反力就向后机身减速放得靠后一点就加速。这条线性关系是整个框架里最像“玄学”的部分——公式只有一行但增益给错就振荡。常用的形式是x_f 0.5·T_st·v_des k_v·(v_x − v_des)。前一项是让落脚点落在支撑相中点对应的位置保证匀速时水平力积分为零后一项是速度误差的线性反馈k_v 的量纲是秒。k_v 的取值有物理上界。粗略地说它不能超过支撑相时长的一半否则相当于把一个周期的误差在一次支撑内全部纠正必然过冲。0.22 s 的支撑相k_v 上限就在 0.11 s 左右实际取 0.08 到 0.12 比较稳。速度指令变化剧烈时要给指令本身加一阶低通时间常数取 0.15 到 0.3 s否则落脚点会在前后极限之间来回甩。下面这段代码把三段控制律写在一个类里平面单腿状态是 (x, z, vx, vz, theta, omega)可以直接接到一个简单的仿真循环里跑。import numpy as np class VirtualLegController: 单腿平面弹跳的三段式控制律高度、姿态、速度各用一条独立规则 def __init__(self, m18.0, g9.81, L00.34): self.m, self.g, self.L0 m, g, L0 # 高度环径向力 PD刚度按固有频率反推k15kN/m - kp 取 2200 N/m 足够 self.kp_height 2200.0 # N/m self.kd_height 46.0 # N·s/m阻尼比约 0.6 self.depth_gain 0.35 # 收缩深度系数直接映射跳跃高度指令 # 姿态环髋力矩 PD输出会被下面限幅到径向力的 20% self.kp_theta 85.0 # N·m/rad self.kd_theta 6.0 # N·m·s/rad # 速度环落脚点偏移k_v 不超过支撑相时长的一半 self.k_v 0.10 # s self.T_st 0.22 # 标称支撑相时长 s self.vx_des 0.60 # 期望前向速度 m/s self.vx_cmd 0.60 # 一阶低通后的指令 def update_command(self, vx_cmd, dt, tau0.2): alpha dt / (tau dt) self.vx_cmd alpha * (vx_cmd - self.vx_cmd) def stance(self, state, phase_t): phase_t 从 0 到 T_st返回径向力、髋力矩、当前期望腿长 x, z, vx, vz, th, om state L_meas np.hypot(x, z) # 前半段收缩、后半段回弹深度由 depth_gain 决定能量注入量 L_des self.L0 * (1.0 - self.depth_gain * np.sin(np.pi * phase_t / self.T_st)) F_leg self.kp_height * (L_des - L_meas) - self.kd_height * vz # 腿只能推不能拉同时给一个 6 倍自重的上限防炸机 F_leg float(np.clip(F_leg, 0.0, 6.0 * self.m * self.g)) # 髋力矩软限幅不超过径向力产生的等效力矩的 20% tau_max 0.2 * F_leg * self.L0 tau_hip -self.kp_theta * th - self.kd_theta * om tau_hip float(np.clip(tau_hip, -tau_max, tau_max)) return F_leg, tau_hip, L_des def swing(self, state, phase_t, T_sw): 摆动相算落脚点给一条带向下预速度的落腿轨迹 x, z, vx, vz, th, om state # 落脚点相对髋的纵向偏移速度中点 速度误差反馈 x_f 0.5 * self.T_st * self.vx_cmd self.k_v * (vx - self.vx_cmd) # 限制在腿长行程的 40% 以内超了说明指令速度已经不可达 lim 0.4 * self.L0 x_f float(np.clip(x_f, -lim, lim)) s phase_t / T_sw h_swing 0.08 0.05 * abs(self.vx_cmd) # 抬腿高度随速度微调 x_tgt x_f * s z_tgt self.L0 h_swing * np.sin(np.pi * s) - 0.15 * self.L0 * s return x_tgt, z_tgt, x_f逻辑说明stance里的L_des用一条正弦曲线描述支撑相的收放过程depth_gain越大收缩越深回弹时注入的能量越多跳得越高这就是高度指令的物理入口。F_leg的上下限不是可选项下限为零是因为腿不能拉上限 6 倍自重是防止参数整错时把关节打坏。tau_hip的动态限幅跟着F_leg走保证姿态力矩永远不会喧宾夺主。swing里的x_f就是 3.3 节那条线性公式lim那一行是很多人漏掉的指令速度超出可达范围时落脚点偏移会被行程截断实际行为与控制器以为的行为不一致表现就是“速度指令加上去但机身不提速”后面的排查章节还会提到这一点。z_tgt里那个-0.15 * L0 * s是给落腿一个向下的预速度让触地干脆避免足端“探地”式的软接触。参数怎么改先固定depth_gain让机器能连续弹跳再把kp_height从固有频率算出的值往下调 30% 起步逐渐加回到能稳住高度为止kp_theta和kd_theta按阻尼比 0.6 到 0.8 配k_v从 0.05 起每次加 0.02出现前后振荡就退回上一档。4. 从单腿到四足对角小跑的相位调度与整定顺序4.1 相位状态机与双支撑窗口的取舍把三条控制律从一条腿搬到四条腿中间的桥是相位调度。最常用的是对角小跑左前配右后为一组右前配左后为一组两组相位差 0.5。占空比 β支撑相时长除以步态周期决定了步态性质β 0.5 时两组正好首尾相接没有腾空相也没有双支撑相β 0.5 出现双支撑窗口稳定性好但速度上限低β 0.5 出现腾空相速度快但对控制精度要求高。四足机的起飞阶段我建议从 β 0.55 开始留一个 10% 周期的双支撑窗口做兜底。这个窗口的价值在于当某条腿触地检测失败或者力控异常时另外两条腿还在支撑机器不会直接趴下。代价是速度上不去Fr 大概只能到 0.3。等参数稳了、触地检测可靠了再把 β 降到 0.45 换取速度。状态机本身不要做成纯定时的。定时器在仿真里永远准实机上电池电压一掉、地面一软相位就漂。我一般用“定时器给期望相位 事件检测给实际相位”的混合结构摆动相开始时启动定时器触地事件可以提前结束摆动相超时未触地则强制切换并记录一次异常。事件优先级高于定时器但连续三次异常就降速保护。触地检测用什么信号取决于硬件。足端有力和力矩传感器最直接阈值取 5% 到 8% 自重加 10 ms 的持续窗口防抖。没有传感器就用关节电流触地瞬间电流会因为支撑力突增而出现尖峰但摆动相加速段的电流尖峰是干扰项必须用“抬腿后 30 ms 内屏蔽”这条互锁把它排掉。编码器差分算足端竖直速度也能判触地速度由负转正的那个过零点就是延迟比力传感器大 5 到 10 ms精度够用。4.2 摆动相轨迹的三个硬约束摆动相看起来只是把腿抬起来放到前面实际上有三个约束不能破破了就是各种诡异现象。抬腿高度不能省。平地低速时 0.06 m 够用速度超过 1 m/s 之后建议给到 0.09 到 0.12 m因为机身本身的上下起伏就有 0.03 到 0.05 m余量不足会拖地。抬腿高度还要和摆动时间挂钩T_sw 越短轨迹竖直方向的加速度越大需要的力矩越大超过关节能力就会出现“抬到一半掉下来”的情况。落点必须有向下的预速度。这条前面代码里已经体现。零速落地的轨迹意味着足端在触地那一刻竖直速度为零力控会先感受到一个缓慢增长的接触力触地检测的阈值判定被拉长相位延迟随之产生。经验值给 -0.3 到 -0.8 m/s速度越快给得越大。落地点的横向位置要留裕量。四足机对角小跑时足端横向落点如果贴着机身中线侧向抗扰能力几乎为零一个侧向推力就能让它横着趔趄。横向落点一般取髋关节横向间距的 0.9 到 1.1 倍稍微外扩一点形成自然的支撑宽度。4.3 整定顺序先刚度、后增益、最后落脚点参数整定最怕的是一起调。四足机的参数耦合很强同时动三个增益你根本分不清是哪个起了作用。我的一般顺序是这样第一步锁死所有增益只调刚度。把机器吊起来让腿在空中小幅收放用示波器看关节力矩和足端位移估算实际的等效刚度。仿真里设的 15 kN/m实机因为减速器柔性和连杆变形可能只有 10 到 12 kN/m这个偏差不修后面所有基于固有频率算出来的增益都是错的。第二步调姿态增益。让机器站在地上人在侧面推一下机身看俯仰角能不能在两次振荡内收敛。振荡超过两次就降 kp 或加 kd收敛太慢就反过来。第三步调高度环。给一个固定的跳跃高度指令看连续弹跳二十次的高度是否漂移。高度单调上升说明能量注入过多把 depth_gain 往下调 10%单调下降就反过来。第四步最后调落脚点增益。给阶跃速度指令看速度响应有没有过冲和振荡。这一步必须在前面三步都稳的前提下做因为落脚点偏移产生的水平力会扰动俯仰如果姿态环本来就在临界状态你永远调不出稳定的速度响应。整个流程跑一遍大概两到三天每换一次地面材质水泥、地毯、橡胶垫都要重新核对第一步和第三步因为等效刚度里的接触刚度变了。5. 仿真跑得漂亮、实机却翻车5 个高频排查点现象一实机一上电就前后点头俯仰角在 ±8° 之间持续振荡仿真里完全没有。原因虚拟腿假设里腿只出径向力但真实腿有质量、有转动惯量髋关节出力的同时会把反作用力矩直接加到机身上再加上触地冲击打进 IMU俯仰角测量本身带着高频噪声阻尼项被噪声喂成了正反馈。 解决先把姿态增益砍一半看振荡是否减弱如果减弱就说明是增益过高同时把角速度通道的低通截止频率从 80 Hz 降到 50 Hz。根治要靠两件事腿部轻量化把单腿质量压到整机的 12% 以内以及在髋关节力矩上叠加一个基于腿摆动的反作用前馈项。现象二速度指令给 0.8 m/s实际稳定在 0.55 到 0.6 之间怎么加增益都上不去。原因落脚点偏移被腿长行程截断了。按公式算出来的 x_f 已经接近 0.15 m而腿在标称腿长下的纵向可达行程只有 0.12 m实际落脚点被截在极限位置控制器以为给的是大偏移实际给的是小偏移误差积分永远消不掉。 解决先打印实际落脚点和指令落脚点两条曲线一对比就清楚了。短期把指令速度限制在可达范围长期要么提高步频缩短支撑相时长同样的偏移量能支撑更高速度要么加大腿长行程。现象三摆动腿刚抬起来就报触地相位机乱跳机器原地抽搐。原因触地判定用的是关节电流阈值摆动相起始的加速段电流尖峰超过了阈值或者足端力传感器阈值贴着噪声底振动就能触发。 解决加互锁抬腿后 30 ms 内屏蔽触地事件阈值改成“超过阈值并持续 10 ms 以上”才算有效如果两个信号都有用“力传感器为主、电流为辅”的与逻辑误触发率能降一个数量级。现象四跑直线时航向缓慢漂移十米之后偏出半米。原因两组对角腿的地面反力不对称可能来自足垫磨损、关节摩擦差异或者 IMU 的零偏没标定。偏航角的积分误差在长距离上会被放大。 解决每次上电静止两秒做 IMU 零偏标定这一步省不得在控制律里加一个偏航角速度的慢速外环输出叠加到左右两侧落脚点的横向偏移上用差动的方式把航向纠回来增益给得很小时间常数取 1 到 2 s。现象五满电时参数刚好稳跑十分钟后开始发飘。原因高度环和姿态环的输出是力矩指令力矩指令经过电流环转换成实际力矩电池电压下降后同样的电流对应的力矩下降等效于所有增益同时变小系统从过阻尼滑向欠阻尼。 解决确认关节驱动器工作在力矩模式而不是电压模式如果只能给电压就在指令上乘一个电池电压的补偿系数标称电压除以实测电压并且把低压保护阈值设在标称电压的 85%。这五条里有三条我在不同平台上都遇到过血泪经验是先怀疑假设再怀疑参数。虚拟腿假设破了参数怎么调都是在错误的模型上做优化。6. 用机械能漂移率做验收把“看着稳”变成一条可测曲线调完之后最难回答的问题是它到底算不算稳靠眼睛看视频不算数靠“跑了五分钟没摔”也不算数因为有些机器是在缓慢发散只是还没到临界点。我的做法是算每个弹跳周期的机械能漂移率。取支撑相中段到下一个支撑相中段的机械能 E 0.5·m·(vx² vz²) m·g·z 0.5·k·(L0 − L)²如果控制律是能量自洽的相邻周期的 E 应该只在一个小范围里波动持续为正说明每次触地都在多注入能量迟早越跳越高直到失控持续为负说明在耗散早晚会衰减到停。import numpy as np def energy_drift(log, m, g, L0, k, fps200): log 每行: [t, x, z, vx, vz, L]按触地事件切分成若干周期 t log[:, 0] E 0.5 * m * (log[:, 3]**2 log[:, 4]**2) m * g * log[:, 2] \ 0.5 * k * (L0 - log[:, 5])**2 # 用 z 的局部极小值作为触地时刻简化版峰值检测 idx [i for i in range(1, len(z) - 1) if log[i, 2] log[i-1, 2] and log[i, 2] log[i1, 2]] if len(idx) 3: return None cycle_E np.array([E[i] for i in idx]) drift np.diff(cycle_E) / cycle_E[:-1] # 相邻周期的相对能量变化 return {cycles: len(idx), mean_drift: float(drift.mean()), std_drift: float(drift.std()), series: drift}这段代码做的事情很直白从日志里还原每个时刻的机械能用机身高度 z 的局部极小值定位触地时刻把能量按周期切片算相邻周期的相对变化。fps是日志采样率低于 200 Hz 时峰值检测会漏掉触地点建议日志至少按 500 Hz 记录。k要填实测的等效刚度不是配置文件里那个名义值两者差 20% 以上就会算出错误的能量。对应的验收指标我一般这么定指标计算方式合格线超标说明什么机械能漂移率相邻周期能量相对变化的均值|mean| 5%正值偏大是能量注入过多负值偏大是耗散过强漂移离散度相对变化的标准差std 8%触地条件不一致重点查地面和足垫落脚点误差收敛比第 n1 周期落脚点误差 / 第 n 周期 0.6大于 0.9 说明速度环基本没起作用俯仰角 RMS支撑相内俯仰角均方根 3°超过 5° 说明姿态环在硬扛髋力矩大概率被限幅削平了触地检测延迟实际触地到状态机切换的时间 15 ms超过 25 ms 相位机会出现明显滞后高速时直接失稳这套指标的好处是可以横向比较。换了新足垫、改了腿长、动了刚度跑一遍同样的日志分析五个数字摆在一起改动是变好还是变坏一目了然不用再靠“感觉比昨天顺一点”来判断。我现在的习惯是每次上机前先跑三十秒的定速巡航把这五个数存成基线之后任何参数改动都必须让这五个数不劣化才允许继续往下试。回过头看这套框架最难的地方在于它把一个看起来无限复杂的问题硬生生砍成了三条各管一段的规则。一旦你相信了这个砍法剩下的就是耐心核对每个假设还剩多少成立。我刚接触的时候总想着一上来就把四足调稳后来才明白应该先把一条单腿弹到能量漂移率 3% 以内那之后四足的很多问题会自己消失。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取