线性电枢的无公式描述

线性电枢的无公式描述参考电枢公式–电枢绕线的规律.csdn电枢网页游戏.csdn这篇文章用最通俗的语言描述线性电枢线性绕法的现象线性绕法f ( t ) k t m o d n f(t)kt \bmod nf(t)ktmodn的可达点均匀分布在圆环上定理1绕法 k t 可以绕到 0 绕法kt可以绕到0绕法kt可以绕到0取t n tntn, 则kn就在0点定理2绕法 k t 在第 2 次绕到 0 之前 , 其他可达点只会绕到一次 绕法kt在第2次绕到0之前,其他可达点只会绕到一次绕法kt在第2次绕到0之前,其他可达点只会绕到一次证明绕法kt的序列依次是第0步0 k 0k0k第1步1 k 1k1k第2步2 k 2k2k……第i ii步i k ikik……第j jj步j k jkjk……第m mm步m k mkmk。反证假设存在0 i j m 0ijm0ijm第i ii步、第j jj步落到同一个点p pp,第m mm步才是第二次绕到0第一次回到0从第i ii步到第j jj步一共跳了j − i j-ij−i次两次位置都是p pp说明连续跳j − i j-ij−i次会回到出发的位置。这套跳跃规则是统一的既然跳j − i j-ij−i次能从p pp回到p pp那么从起点0出发同样跳j − i j-ij−i次也一定回到0。但是m mm是第二次到达0的步数第一次回到0的最小步数任何少于m mm次的跳跃都不可能回到0。而0 j − i m 0j-im0j−im推出矛盾。因此假设不成立在第二次绕到0之前所有可达点只会走到一次不会重复。定理3绕法 k t 的可达点会均匀分布在圆环上 绕法kt的可达点会均匀分布在圆环上绕法kt的可达点会均匀分布在圆环上证明由定理2从0出发到第m mm步第二次回到0为止一共得到m mm个互不重复的可达点0 k , 1 k , 2 k , … , ( m − 1 ) k 0k,1k,2k,\dots,(m-1)k0k,1k,2k,…,(m−1)k第m mm步回到0形成闭合环。反证假设存在两个可达点p pp、q qqp pp到它下一个可达点的距离和q qq到它下一个可达点的距离不相等。我们把p pp转到圆环最上方当作起点来看从p pp出发按规则跳一步得到它后面那个可达点间隔就是固定的跳跃步长。再把q qq转到圆环最上方当作起点来看从q qq出发同样按这个规则跳一步得到它后面那个可达点用的还是一模一样的跳跃步长。所有可达点地位是对称的任选一个可达点放到最上方当起点规则不变、跳法不变。这就说明p pp、q qq到下一个可达点的距离必然相等和假设矛盾。故假设不成立绕法k t ktkt的可达点均匀分布在圆环上。注均匀不等于占满全部格子仅指相邻可达点的间隔全部相同。定理4相邻可达点的距离一定是 n 的因子 相邻可达点的距离一定是n的因子相邻可达点的距离一定是n的因子证明根据定理3可达点均匀分布在圆环上。设相邻可达点的距离为s ss一共有m mm个可达点。一圈总共n nn格m mm段间隔每段都是s ss于是m ⋅ s n m \cdot s nm⋅snm mm、s ss都是正整数因此s ss能够整除n nn也就是s ss是n nn的因子。定理5绕法 k t 相邻可达点的距离 s ( n , k ) 绕法kt相邻可达点的距离\,s(n,k)绕法kt相邻可达点的距离s(n,k)证明由定理3、定理4可达点均匀分布一圈n nn格被切成m mm段每段长s ss满足m × s n m\times s nm×sn。同时跳m mm次、每次跳k kk格刚好回到0说明总共跳的格数m ⋅ k m\cdot km⋅k是n nn的整数倍。因为n m ⋅ s nm\cdot snm⋅sm ⋅ k m\cdot km⋅k是m ⋅ s m\cdot sm⋅s的倍数这意味着k kk一定是s ss的倍数。所以s ss既能整除n nn又能整除k kks是n nn和k kk的一个公共约数。再看最大性随便拿一个n nn和k kk的公共约数t tt。每次跳k kk格k kk是t tt的倍数所以所有落脚点一定是t tt的倍数。而我们的可达点就是0 , s , 2 s , … 0,s,2s,\dots0,s,2s,…它们都是s ss的倍数。既然所有s ss的倍数都必须是t tt的倍数说明s ss是t tt的倍数。于是t tt不可能比s ss更大。s ss是公共约数而且别的公共约数都不超过它因此相邻可达点距离就是n nn与k kk的最大公约数( n , k ) (n,k)(n,k)。定理6绕法 k t 的循环周期是 n ( n , k ) 绕法kt的循环周期是\dfrac{n}{(n,k)}绕法kt的循环周期是(n,k)n​证明由定理5已经知道相邻可达点的距离s ( n , k ) s(n,k)s(n,k)。圆环一共有n nn个格子可达点均匀排布相邻间隔为s ss。周期就是从0出发再次回到0之前一共经过多少个不同的可达点。一圈总长n nn每走s ss格遇到下一个可达点所以点的总数m n s m\frac{n}{s}msn​把s ( n , k ) s(n,k)s(n,k)代入得到m n ( n , k ) m\frac{n}{(n,k)}m(n,k)n​这个m mm就是第一次回到0需要跳的步数也就是循环周期。所以绕法k t ktkt的循环周期为n ( n , k ) \dfrac{n}{(n,k)}(n,k)n​。定理7如果 ( n , a ) ( n , b ) 则绕法 a t 和绕法 b t 是同绕的 如果(n,a)(n,b)则绕法at和绕法bt是同绕的如果(n,a)(n,b)则绕法at和绕法bt是同绕的证明由定理5绕法a t atat的相邻可达点距离是( n , a ) (n,a)(n,a)绕法b t btbt的相邻可达点距离是( n , b ) (n,b)(n,b)。条件给出( n , a ) ( n , b ) (n,a)(n,b)(n,a)(n,b)说明两种绕法的相邻可达点间隔一样。再由定理6两种绕法的循环周期都是用n nn除以这个相同的间隔因此周期也一样。在同一个圆环上间隔相同、周期相同能踩到的就是同一组点只是经过点的先后顺序不一样。所以绕法a t atat和绕法b t btbt是同绕的。注同绕 两者可达点集合完全一样只是遍历点的顺序不同。定理8如果 ( n , k ) 1 则绕法 k t 能绕满所有槽 如果(n,k)1则绕法kt能绕满所有槽如果(n,k)1则绕法kt能绕满所有槽证明由定理5相邻可达点距离s ( n , k ) s(n,k)s(n,k)。条件( n , k ) 1 (n,k)1(n,k)1所以相邻可达点距离s 1 s1s1。相邻两个可达点之间隔1格意思就是每个格子都能踩到。再结合定理6循环周期是n ( n , k ) n 1 n \dfrac{n}{(n,k)}\dfrac{n}{1}n(n,k)n​1n​n一共会出现n nn个互不重复的可达点。圆环正好一共n nn个槽n nn个不同点就把所有槽全部占满。因此绕法k t ktkt可以绕满全部槽。定理9不但 小电枢上的槽号乘以(n,k)可以对应到大电枢的槽号而且 小电枢上的绕法乘以(n,k)可以对应到大电枢的绕法( ∣ k n ) ( n , k ) ( ∣ 1 n ( n , k ) ) \left(|\frac{k}{n}\right) (n,k) \left(|\frac{1}{\dfrac{n}{(n,k)}}\right)(∣nk​)(n,k)​∣(n,k)n​1​​证明记d ( n , k ) , m n d d(n,k),\ m\dfrac{n}{d}d(n,k),mdn​。左边( ∣ k n ) \left(|\dfrac{k}{n}\right)(∣nk​)在一共n nn个槽的圆环上所有跟k t ktkt同绕的绕法放一起。由定理7知道只要步长a aa满足( n , a ) d (n,a)d(n,a)d它就和k t ktkt同绕。这类绕法能踩到的槽永远是0 , d , 2 d , … , ( m − 1 ) d 0,\;d,\;2d,\dots,(m-1)d0,d,2d,…,(m−1)d每隔d dd一个槽。右边( ∣ 1 m ) \left(|\dfrac{1}{m}\right)(∣m1​)先看一个小圆环这个小圆环只有m mm个槽。它里面是所有和每次跳1格1 ⋅ t 1\cdot t1⋅t同绕的绕法。这种绕法可以把小圆环全部槽踩一遍0 , 1 , 2 , … , m − 1 0,1,2,\dots,m-10,1,2,…,m−1。记号d ( ∣ 1 m ) d\left(|\dfrac{1}{m}\right)d(∣m1​)的意思把这个小圆环上每一个槽号都乘上d dd搬到原来那个有n nn个槽的大圆环上。小环上的0 , 1 , 2 , … , m − 1 0,1,2,\dots,m-10,1,2,…,m−1乘完d dd就变成0 ⋅ d , 1 ⋅ d , 2 ⋅ d , … , ( m − 1 ) ⋅ d 0\cdot d,\;1\cdot d,\;2\cdot d,\dots,(m-1)\cdot d0⋅d,1⋅d,2⋅d,…,(m−1)⋅d你看搬过来之后能踩到的槽和左边那一组绕法能踩到的槽一模一样。在我们这套规则里能踩到同一组槽的绕法就是同绕的属于同一个同绕集合。所以这两边是同一个同绕类( ∣ k n ) ( n , k ) ( ∣ 1 n ( n , k ) ) \left(|\frac{k}{n}\right) (n,k)\left(|\frac{1}{\dfrac{n}{(n,k)}}\right)(∣nk​)(n,k)​∣(n,k)n​1​​注d ( ∣ 1 m ) d\left(|\dfrac{1}{m}\right)d(∣m1​)不是普通数字乘法是拉伸把小圆环上的一套绕法按间隔d dd拉开放到大圆环上面。