首页/新闻资讯/正文详情

动态规划解决零钱兑换问题详解

发布时间:2026/11/5 19:05:25 来源:云帆数科 栏目:资讯中心
动态规划解决零钱兑换问题详解
1. 零钱兑换问题概述零钱兑换问题是计算机科学和数学中一个经典的动态规划问题。它描述的是给定不同面额的硬币和一个总金额计算可以凑成总金额的最少硬币数量。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额则返回-1。这个问题看似简单但在实际应用中却有着广泛的场景。比如在自动售货机找零、银行柜台兑换零钱、支付系统的最优支付组合等场景中都需要快速计算出最少数量的零钱组合。2. 问题建模与理解2.1 问题形式化描述给定硬币面额数组coins [c1, c2, ..., ck]其中ci 0且互不相同总金额amount A求一个非负整数数组count [n1, n2, ..., nk]使得n1×c1 n2×c2 ... nk×ck A并且使得n1 n2 ... nk最小2.2 示例分析举例说明coins [1, 2, 5], amount 11最优解是3枚硬币(55111)其他可能的组合如522211(4枚)或11枚1元硬币都不是最优解3. 动态规划解法3.1 基本思路动态规划是解决这个问题的经典方法。其核心思想是定义dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币数初始条件dp[0] 0金额0不需要任何硬币状态转移方程对于每个金额i遍历所有硬币面额c如果c ≤ i则dp[i] min(dp[i], dp[i-c]1)3.2 算法实现def coinChange(coins, amount): dp [float(inf)] * (amount 1) dp[0] 0 for coin in coins: for i in range(coin, amount 1): dp[i] min(dp[i], dp[i - coin] 1) return dp[amount] if dp[amount] ! float(inf) else -13.3 复杂度分析时间复杂度O(S×n)其中S是金额n是硬币种类数空间复杂度O(S)需要存储dp数组4. 贪心算法及其局限性4.1 贪心算法思路贪心算法每次选择当前能用的最大面额硬币直到凑齐总金额。对于coins [1,2,5], amount11的例子贪心算法也能得到最优解。4.2 贪心算法的问题但是贪心算法并不总是有效。例如coins [1,3,4], amount6贪心4113枚最优解332枚这说明贪心算法在某些情况下会得到次优解。4.3 贪心算法的适用条件贪心算法仅在硬币面额满足贪心选择性质时才适用。数学上对于欧几里得币制系统如1,2,5,10,20,50,100贪心算法有效。但对于一般情况需要使用动态规划。5. 边界条件与特殊处理5.1 无法兑换的情况当amount0时应返回0不需要任何硬币。当没有任何硬币组合能凑出amount时返回-1。5.2 大金额处理对于非常大的amount值需要注意整数溢出问题计算时间可能过长内存消耗dp数组大小5.3 零值硬币如果coins数组中包含0应该先过滤掉因为它不影响兑换结果但会导致无限循环。6. 实际应用中的优化6.1 预处理硬币数组可以先对coins数组进行排序在某些情况下可以提前终止循环。6.2 记忆化搜索除了自底向上的动态规划也可以使用带备忘录的自顶向下递归方法。6.3 并行计算对于超大金额可以考虑将问题分解并行计算。7. 变种问题7.1 计算兑换方式总数类似问题但要求计算所有可能的兑换方式数量解法略有不同。7.2 限制硬币数量当每种硬币有数量限制时问题变为多重背包问题。7.3 纸币和硬币组合实际应用中可能需要考虑不同面额的纸币和硬币组合。8. 工程实践中的注意事项在实际系统实现时还需要考虑输入验证负数、非整数等性能监控对于高频调用的兑换服务结果缓存对常见金额预计算存储结果多线程安全如果实现为服务这个问题虽然看似简单但深入理解其解法对于掌握动态规划和算法设计思想非常有帮助。在实际面试和编程竞赛中也经常出现值得深入研究和掌握各种变体的解法。

相关推荐

小程序 three.js 3D模型加载渲染与性能优化实践
小程序 three.js 3D模型加载渲染与性能优化实践

简介:面向微信小程序开发者的 three.js 外部 3D 模型加载示例工程,适合具备 JavaScript 与小程序基础、需要在项目中接入模型并完成场景渲染的开发者参考。压缩包共 11 个文件、约 167KB,含 4 个 json 配置、4 个 js 逻辑脚本、1 个 md 说明、… · 2026/11/4 18:01:21

多尺度谱图卷积网络原理与实现详解
多尺度谱图卷积网络原理与实现详解

1. 多尺度谱图卷积网络概述图神经网络作为处理非欧几里得数据的重要工具,近年来在社交网络分析、分子结构预测、推荐系统等领域展现出强大能力。其中,谱图卷积网络通过图傅里叶变换将图信号映射到谱域进行处理,为图数据建模提供了理论基础。而… · 2026/11/4 0:29:37

Hermes Agent架构解析:AI智能体的三层逻辑与执行路径
Hermes Agent架构解析:AI智能体的三层逻辑与执行路径

1. 项目概述:一张图看清 Hermes Agent 的“神经脉络”Hermes Agent 不是某个具体软件的安装包,也不是 Windows 或 Android 那种带图形界面的操作系统子系统。它是一个典型的AI Agent 架构范式——更准确地说,是 DeepSeek 团队提出并开源的一套… · 2026/11/4 20:08:26

EasyU优启通PE维护盘实战指南:制作、启动与核心操作全解析
EasyU优启通PE维护盘实战指南:制作、启动与核心操作全解析

1. 为什么一个PE维护盘值得单独拿出来聊装系统、修引导、救数据、清病毒,这些活儿但凡干过几次的人都知道,真正决定效率的往往不是你手速多快,而是手边那套PE环境靠不靠谱。EasyU(圈内习惯叫优启通)就是在这个场景下被… · 2026/11/5 16:49:35

Rust原来很简单二:所有权系统
Rust原来很简单二:所有权系统

Part 2 核心篇 —— 所有权系统 本篇覆盖 第 6 ~ 10 章:所有权、借用与引用、生命周期、字符串与切片、内存模型。 ⚠️ 这是全书最重要的一篇。 把它吃透,Rust 从此“很简单”;跳过它,你会处处碰壁。请慢下来,动手敲每一段代码。 第 6 章 所有权:Rust 的第一性原理 6… · 2026/11/5 16:26:08

基于Hadoop+Spark的民宿智能推荐系统设计与实现
基于Hadoop+Spark的民宿智能推荐系统设计与实现

1. 项目概述:大数据时代的民宿智能推荐这个毕业设计项目融合了当前大数据领域最主流的技术栈,构建了一个完整的民宿推荐系统解决方案。作为一名长期从事大数据系统开发的工程师,我认为这个选题非常贴合实际应用场景——随着旅游业的复苏和共享… · 2026/11/5 14:59:25

ADS122U04IPWR+STM32F427ZI工业级温度测量信号链设计
ADS122U04IPWR+STM32F427ZI工业级温度测量信号链设计

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 14:10:41

UART接口24位ADC搭配RS485,解决远距离温度监控难题
UART接口24位ADC搭配RS485,解决远距离温度监控难题

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 14:10:41

UART接口24位ADC搭配PIC18F46K22的RTD与热电偶测温实践
UART接口24位ADC搭配PIC18F46K22的RTD与热电偶测温实践

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 14:10:41

双极步进电机控制实战:DRV8818PWPR与PIC18F86K22驱动调试
双极步进电机控制实战:DRV8818PWPR与PIC18F86K22驱动调试

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 10:27:59

STM32F207ZG + DRV8818PWPR 步进电机驱动实战解析
STM32F207ZG + DRV8818PWPR 步进电机驱动实战解析

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 10:28:03

DRV8818PWPR+dsPIC30F4013工业级双极步进电机控制方案
DRV8818PWPR+dsPIC30F4013工业级双极步进电机控制方案

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 10:28:07

多智能体协作系统架构设计与实践优化
多智能体协作系统架构设计与实践优化

1. 多智能体协作系统的时代背景2017年Transformer架构的诞生彻底改变了人工智能的发展轨迹。当行业还沉浸在单一大模型带来的性能突破时,Anthropic的研究团队已经将目光投向了更前沿的领域——如何让多个智能体通过协作产生超越单体能力的系统智能。这就像交响乐团中… · 2026/11/5 0:00:39

大模型系统性入门实战指南:从原理到部署微调的全链路路线
大模型系统性入门实战指南:从原理到部署微调的全链路路线

提到大模型的系统性入门,我先说个结论:这事真不难,难的是资料太散、路线太多,今天这个框架明天那个工具,新人很容易在“收藏夹吃灰”和“教程看到一半放弃”之间反复横跳。市面上关于大模型的内容少说有几十万篇&#… · 2026/11/5 0:00:39

鸿蒙文件系统沙箱机制解析与开发实践
鸿蒙文件系统沙箱机制解析与开发实践

1. 鸿蒙文件系统沙箱机制深度解析作为一名从Android转向鸿蒙开发的工程师,我深刻体会到文件系统访问是迁移过程中最先遇到的"拦路虎"。在Android上运行良好的文件读写代码,在鸿蒙真机环境却频频出现文件写入后神秘消失或直接抛出权限拒绝错误的… · 2026/11/5 0:00:39

双极步进电机控制实战:DRV8818PWPR与PIC18F86K22驱动调试
双极步进电机控制实战:DRV8818PWPR与PIC18F86K22驱动调试

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 10:27:59

STM32F207ZG + DRV8818PWPR 步进电机驱动实战解析
STM32F207ZG + DRV8818PWPR 步进电机驱动实战解析

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 10:28:03

DRV8818PWPR+dsPIC30F4013工业级双极步进电机控制方案
DRV8818PWPR+dsPIC30F4013工业级双极步进电机控制方案

/* MD / 富文本中的 .toc(含博客园搬家等嵌套结构);.toc-box 在侧栏,不受影响 */#content_views .toc,/* 编辑器常在目录前后插入空 p(:empty 仍占 20px),一并去掉避免顶空隙 */#content_views.markdown_views > p:empty:has(+ .toc),#content_views.markdown_views … · 2026/11/5 10:28:07

了解更多?预约专属演示

我们的顾问将为您一对一讲解产品与方案

企业微信二维码