金融量化的概率统计基础-云帆数科

量化的概率统计基础 # 分布的四个“矩” 1. 期望均值统计学里面叫期望也被叫做一阶矩 np.mean(data) (data表示想要求均值的数据下同) 2. 标准差方差开方二阶矩样本-均值的平方相加除以样本数表示离散程度拥有可加性即两个随机变量相加后的方差等于两个随机变量各自方差相加 np.var(data) var是方差std时标准差 3. 偏度随机变量分布的对称情况样本-均值的三次方相加除以样本数在除以方差的三次方正偏又叫右偏右侧出现长尾“尾部”指的是远离中心的极端区域。均值中位数众数负偏又叫左偏均值中位数众数 np.skew(data) 4. 峰度样本-均值的四次方相加除以样本数在除以方差的四次方一般尖峰伴随着肥尾肥尾肥的意思距离X轴的距离更厚更大一般相对于正态分布来说。就是说尾巴的样本数量比想象中更多极端情况发生的概率更多 np.kurtosis(data)或data.kurt() EX 01.py # 正态分布 1.定义 1.X~N(均值,方差)正态分布的概率密度公式只有两个参数期望和方差所以当期望和方差确定了正态分布的图形形状就确定了。 2.np.random.normal(loc期望scale方差size随机点个数) 可以尝试改变期望和方差的变化可以看出图形在期望改变时左右移动改变方差时视觉上感觉胖瘦变化。也可以尝试求出偏度和峰度。 EX02.py 2.特点 1.均值-标准差均值标准差这个区间内大概涵盖了68.27%的样本数量 2.均值-2*标准差均值2*标准差这个区间内大概涵盖了95.44%的样本数量 3.均值-3*标准差均值3*标准差这个区间内大概涵盖了99.74%的样本数量 EX03.py # 线性回归 1.单元线性回归 1.1 yaxb (单元就是只有一个变量X) 一个简单的例子大盘指数的涨跌如何影响个股的涨跌。这里面大盘指数的涨跌就是唯一的变量X个股的涨跌就是Y。本篇文章回归均使用普通最小二乘回归。就是输入x,y,然后最小二乘相关运算可以自动求出a,其实一般这个a都是用bate表示。b呢用a表示用statsmodels这个里面有 1.sm.OLS()普通最小二乘 2.sm.tsa.ARIMA(),sm.tsa.SARIMAX()时间序列分析 3.sm.stats.ttest_ind()、sm.stats.anova_lm() 等统计检测 4.sm.GLM()支持多种分布广义线性描述 5.sm.stats.describe() 描述统计等等 1.2 普通最小二乘 sm.OLS(因变量Y,sm.add_constant(自变量X,hasconstTrue)).fit() (sm.add_constant(,hasconstTrue)代表增加截距b也就是常数项,.fit代表拟合模型) 如果不想增加常数项可以直接sm.OLS(因变量Y,自变量X).fit() OLS Regression Results Dep. Variable: stock_return R-squared: 0.254 Model: OLS Adj. R-squared: 0.251 Method: Least Squares F-statistic: 82.56 Date: Wed, 10 Sep 2025 Prob (F-statistic): 3.78e-17 Time: 14:58:02 Log-Likelihood: 686.09 No. Observations: 244 AIC: -1368. Df Residuals: 242 BIC: -1361. Df Model: 1 Covariance Type: nonrobust Dep. Variable因变量被解释变量这里是 stock_return股票收益率。 Model模型类型这里是 OLS普通最小二乘。 Method拟合方法这里是 Least Squares最小二乘法。 No. Observations样本数量这里是 244。 Df Residuals残差自由度样本数减去自变量数。 Df Model模型自由度自变量数量。 R-squared决定系数表示模型解释了多少因变量的波动0~1越高越好。 Adj. R-squared调整后的 R²考虑了变量数量防止过拟合。 F-statisticF 检验统计量检验模型整体有效性。 Prob (F-statistic)F 检验的 p 值越小越显著。 AIC/BIC信息准则用于模型优劣比较越小越好。 Log-Likelihood对数似然值衡量模型拟合优度。一般主要观察指标是可决系数R-squared 解释变量在多大程度上解释了被解释变量。例如在上面的回归结果中R2是25.4%那么中国平安这只股票的涨跌幅波动可以被大盘的涨跌幅波动解释掉25.4%。 coef std err t P|t| [0.025 0.975] --------------------------------------------------------------------------------- const 0.0013 0.001 1.417 0.158 -0.001 0.003 market_return 0.5406 0.059 9.086 0.000 0.423 0.658 Covariance Type: nonrobust coef回归系数 const截距项市场无变动时股票的平均收益率。 market_return市场收益率的回归系数即 Beta衡量股票对市场的敏感度。 std err标准误系数估计的不确定性。 tt 检验统计量系数是否显著不为零。 P|t|t 检验的 p 值越小越显著通常 0.05 认为显著。 [0.025, 0.975]系数的 95% 置信区间。一般主要观察指标是coef和P|t| 观察coef可得 y0.5406*X0.0013 观察P|t|可得0.1580.05接受原假设00.05拒绝原假设原假设市场的涨幅不影响个股的涨幅因为上述const接受原假设所以我改变一下一元方程yax再次做最小二乘回归得到R-squared0.258P|t| 0,拒绝原假设y0.5463x 也就是说市场涨10%,中国平安平均上涨5.463%。平均不是每天长期来看中国平安涨幅的波动中有 25.8% 可以由大盘涨幅的波动解释其余波动由其他因素导致。” 但实际计算出来的中国平安日度收益率与真正的收益率还是有较大的差异的我们把这一部分差异叫作残差。个股收益率股票Beta×大盘收益率残差项残差项的金融学解释就是中国平安这只股票的收益率不能被大盘收益率解释的那一部分简单来说也就是中国平安自己的特性带来的收益率。 EX04.py 2.多元线性回归 1.定义 Y β₀ β₁X₁ β₂X₂ β₃X₃ ε 单元线性回归以单个解释变量解释一个被解释变量多元线性回归中的解释变量的数量为两个或两个以上。 2.回归 2.1变量上证50由50个市值最大的股票组合而成在2019年年中上证50前十大权重股分别是中国平安(601318.SH)、贵州茅台(600519.SH)、招商银行(600036.SH)、兴业银行(601166.SH)、恒瑞医药(600276.SH)、伊利股份(600887.SH)、中信证券(600030.SH)、交通银行(601328.SH)、民生银行(600016.SH)、农业银行(601288.SH)。在逻辑上上证50的涨跌可以被这前十大权重股解释很大一部分。因此针对2019年的行情我们将上述10个权重股的日度涨跌幅作为解释变量将上证50的涨跌幅作为被解释变量进行多元回归。 2.2原假设检验单个变量时用 t 检验检验多个变量的联合效应时用 F 检验这是回归分析中常见的应用场景。单元线性回归只有一个解释变量一般主要看t检验判断该解释变量自变量对因变量是否有显著影响。多元线性回归有多个解释变量一般主要看F检验判断整个模型是否显著即所有解释变量联合起来是否对因变量有解释力。但每个解释变量的显著性还是要看各自的t检验。 F检验对应一个原假设,多元回归模型中F检验的原假设是回归模型中所有的系数都为零。设多元回归模型的回归系数为bi共有k个回归系数那么F检验的原假设公式就是b1b2...bk0 2.3主要看的指标调整后的R-squared用于对模型中解释变量的个数进行惩罚。在相同的R-squared下使用了越多解释变量的回归模型其调整后的R-squared越小。为了防止过拟合的惩罚 F检验联合检验说明模型整体是否成立相关性data.corr() (说明回归模型是否不可靠是否存在多重共线性) VIF方差膨胀系数Variance Inflation FactoVIF1/(1-R的平方) VIF越大说明该自变量可以被其余自变量解释的力度越大。通常如果VIF大于5就可以认为自变量存在较大的多重共线性。 EX05.py

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