从水仙花数到n位自幂数：Python取位、循环与优化实践

带过几批刚上手 Python 的朋友之后我发现一个挺有意思的现象让他们写一个判断闰年的程序大多数人十分钟内能交卷可让他们写「输出所有的水仙花数」反而会卡住。卡的地方通常不是逻辑而是心态——一看题目觉得太简单脑子里直接跳到for循环加print结果边界写错、取位写错、幂次写错跑出来空空如也还不知道问题出在哪。水仙花数这道 Python 编程练习看着像入门题实际上是一块非常精准的试金石它同时考你整数取位、循环边界、字符串与数字的心智模型以及从特例到通解的抽象能力。这篇就把这道练习掰开揉碎从最原始的暴力枚举写到 n 位自幂数的通用解中间夹着我见过的各种翻车现场和几种能把运行时间压下去的写法不管你是刚学循环的新手还是想找一道题练手感的老手应该都能捞到点东西。1. 从一道看似太简单的练习说起水仙花数到底在考什么先把概念钉死不然后面全在沙地上盖楼。水仙花数指的是一个三位数它的每一位数字的立方和恰好等于这个数本身。最常见的那四个答案——153、370、371、407——是很多人写 Python 循环时打印出来的第一批「有成就感」的结果。这道题之所以被反复拿来当练习是因为它的判定条件足够短短到你可以在一行里写完但它的正确性又足够严格任何一处取位或边界出错都会立刻暴露。我见过不少人第一次跑这道题屏幕上什么都没有于是怀疑 Python 坏了。实际情况百分之九十九是判定条件写反了、range的终点开区间没理解透或者取十位的时候直接把n // 10当成了十位数字。这些错误单看都很低级但它们背后对应的是同一件事对整数除法和取模的语义没有形成肌肉记忆。这道练习的价值恰恰在于逼你把这件事想清楚。1.1 定义先行三位自幂数的判定条件把定义翻译成数学表达式是写代码前必须完成的一步。设这个三位数为 n百位为 a、十位为 b、个位为 c那么判定条件就是a³ b³ c³ n其中 a 的取值范围是 1 到 9b 和 c 是 0 到 9。注意 a 不能是 0因为三位数的百位不可能是 0这也决定了枚举的起点是 100 而不是 0。手动验证一遍能帮你建立直觉。1531³ 5³ 3³ 1 125 27 153成立。37027 343 0 370成立注意个位是 0 也要参与计算不能因为「看起来没有」就跳过。37127 343 1 371成立。40764 0 343 407成立这次是十位为 0。这四个数正好覆盖了「零出现在不同位置」的几种情况所以我建议你手动算一遍再写代码比直接抄代码更有用。再往上抽象一层三位水仙花数其实是自幂数也叫阿姆斯特朗数在 n3 时的特例。n 位自幂数的定义是一个 n 位数其各位数字的 n 次方之和等于它本身。按这个定义四位数里满足条件的有 1634、8208、9474通常叫四叶玫瑰数五位数有 54748、92727、93084。这个推广不是炫技而是把「一道题」变成「一类题」的关键一步后面第 4 节会专门讲怎么把代码写成通用的。1.2 这道练习真正训练的四项基本功很多人做完了这道题只得到四个数字然后就翻篇了。我觉得有点可惜因为这道题能压到的能力点其实有四层逐层递进。第一层是整数取位。你要用//和%把一个多位数拆成单个数字这个技巧在后面处理时间格式、金额分位、身份证号校验、进制转换时都会反复用到属于绕不过去的基础操作。第二层是循环边界的严谨性。range(100, 1000)和range(100, 999)差一个数在这个题里恰好不影响结果999 不是水仙花数但这种「错误被数据掩盖」的经历最危险它会让你误以为自己的边界感是对的。我建议你养成习惯写range的时候先问自己一句「终点的下一个数是谁」。第三层是数字与字符串的转换取舍。把数字转成字符串再逐字符处理是很多人第一反应会走的路线它可读性极好但在位数很多、循环量很大时会明显变慢。理解这两种路线各自的代价是从「能跑」走向「知道为什么这么跑」的分水岭。第四层是从特例到通解的抽象。把写死的三次方换成 n 次方把写死的三个变量换成循环把100到1000换成10**(n-1)到10**n这一套动作练熟了你处理其他「按位数展开」的问题会顺手很多。2. 第一种写法暴力枚举配整数取位这是我最推荐新手先写的版本因为它最贴近定义没有任何语法糖遮挡出错时你也最容易定位。所谓暴力枚举就是把 100 到 999 之间的每一个整数都拿出来验一遍符合条件就输出。900 次循环对现代机器来说几乎瞬时完成所以完全不需要在性能上纠结。2.1 用整除和取模把每一位拆出来核心动作是把一个三位数拆成三个独立变量。这里的关键认知是n // 10的结果是「去掉末位之后的数」n % 10的结果是「末位数字」。这两个操作组合起来就能从右往左一位一位地剥。for n in range(100, 1000): a n // 100 # 百位直接整除 100小数部分被丢弃 b n // 10 % 10 # 十位先去掉末位再取新的末位 c n % 10 # 个位直接取模 10 if a ** 3 b ** 3 c ** 3 n: print(n)这段代码跑出来的结果应该是四行153、370、371、407。如果少了一个或者多了别的数先别急着改判定条件按顺序检查三件事range的两个端点对不对、b那一行的运算顺序对不对n // 10 % 10从左到右算结果等价于(n // 10) % 10、a ** 3里的指数是不是 3。十位那一行是最容易写错的地方。我见过有人写成n % 100 // 10这个其实也对先取后两位再整除 10逻辑上是等价的但更多的人写成n // 10忘了后面的% 10于是b变成了一个两位数甚至三位数立方之后数值爆炸条件永远不成立程序一声不吭地什么都不输出。这种「静默失败」是新手最难自己发现的所以一定要有个心理预期如果一个符合条件的数都没打印出来十有八九是某个中间变量的量级不对。2.2 用 divmod 一步拿到商和余数Python 内置的divmod返回一个(商, 余数)的元组用它拆位可以少写几次运算符而且意图更清晰for n in range(100, 1000): rest, c divmod(n, 10) # rest 是前两位c 是个位 rest, b divmod(rest, 10) # rest 是百位b 是十位 a rest if a ** 3 b ** 3 c ** 3 n: print(n)这种写法的好处是拆位过程是「链式」的从右往左推进逻辑顺序和人的手工计算顺序一致。等你以后要拆四位、五位甚至不定长数字的时候这种代码模式可以直接套一个while rest:的循环非常自然。这也是我通常推荐给已经写过一遍新手版的人的第二个版本。2.3 range 边界与被数据掩盖的错误单独把range拎出来讲是因为它在这道题里有个很隐蔽的特性。range(100, 1000)生成 100 到 999 共 900 个数这是正确的。如果有人写成range(100, 999)实际生成的是 100 到 998漏掉了 999。而 999 恰好不是水仙花数所以程序输出看起来完全正确错误被数据掩盖了。同样如果有人写成range(1, 1000)把 1 到 99 也纳入了枚举范围。这些数里有些会「意外」通过判定比如 11³ 1 本身于是输出里多出一个 1。这时候你可能会疑惑1 是不是水仙花数按严格定义水仙花数限定为三位数1 不是。但从自幂数的角度看1 是 1 位自幂数。所以这个「错误」的答案其实反映了一个概念混淆——水仙花数是三位自幂数的专名不是所有自幂数的统称。这两件事放在一起说明一个道理这类练习的正确性不能只靠肉眼扫一眼输出来判断得有一个可以自动核对的基准。后面第 5 节我会给一个用assert做自测的写法几行代码就能把结果钉死。3. 第二种写法字符串转换法的取舍把数字转成字符串然后逐个字符取出来转回整数这是绝大多数人的第一直觉。它的可读性确实好尤其是在位数不确定的场景下几乎不需要动脑子就能写对。但它也有代价而这个代价在三位数规模下完全看不出来在位数拉长之后才会咬你一口。3.1 str 加 int 的写法与它的直觉友好性for n in range(100, 1000): s str(n) total sum(int(ch) ** 3 for ch in s) if total n: print(n)这段代码几乎就是定义的中文直译把数变成字符序列把每个字符转成数字各自求三次方加起来比一比。它还有个额外的好处——换位数只要改指数。你要是想找四位自幂数把3换成4、把range换成range(1000, 10000)就行取位那段代码一个字都不用动。这正是抽象带来的收益整数取位法里「怎么拆出每一位」是和位数绑定的三位数用三个变量四位数就得加一个变量字符串法里拆位是循环自动完成的和位数解耦。所以如果你最终目标是写一个「给定 n找出所有 n 位自幂数」的通用函数字符串法是最省事的起点。3.2 两种路线在同一台机器上的实测量级差异我做过一个粗糙的对比用timeit分别跑一千次把整个枚举流程包在函数里避免全局变量干扰import timeit def by_int(): res [] for n in range(100, 1000): a n // 100 b n // 10 % 10 c n % 10 if a ** 3 b ** 3 c ** 3 n: res.append(n) return res def by_str(): res [] for n in range(100, 1000): if sum(int(ch) ** 3 for ch in str(n)) n: res.append(n) return res在我本机上三位数的规模下两者差距大概在数倍左右绝对值小到可以忽略——毕竟总量才 900 次迭代。但当位数往上走比如枚举七位数900 万次迭代字符串法的劣势就会变成实打实的秒级差距因为每次str()都要创建一个新对象每次int(ch)都要做一次字符到整数的解析而整数取位只是几条机器指令。这里有个结论值得记住性能差异不是绝对的而是随规模放大的。在这道三位数的练习里你选哪个写法都不影响「跑得飞快」这个事实所以别为了性能纠结。但你要知道这个差异存在并且知道自己为什么选了可读性——这个「知道」本身就是新手和老手的区别。3.3 什么时候应该主动选字符串法我的实际取舍是这样的写脚本、做一次性验证、位数为变量、代码要给别人看——字符串法。这类场景里正确性和可读性的权重远高于纳秒级的性能。处理大批量数据、位数固定、在循环里被调用成千上万次——整数取位。这时候省下来的每一次对象创建都是值得的。还有一类场景值得单独提当你要处理的不是十进制数字而是其他进制或者带格式的字符串时字符串法几乎是唯一选择。比如你要验一个十六进制数各位的幂和用//和%就得先把进制换成 16代码立刻变得不好读而字符串法只是把int(ch)换成int(ch, 16)。工具的选择永远跟着场景走不是跟着「哪个更快」走。4. 把三位推广到 n 位自幂数通解的三条路做到这里如果你只停在三水仙花数上其实只用了这道题三成的价值。真正有意思的部分是把「三位」这个约束拆掉让它变成一个可以传参的函数。这个过程中你会撞上几件挺有意思的事位数越大候选数量指数级增长符合条件的结果却极其稀疏单纯的暴力枚举很快就跑不动了。4.1 按位数动态生成上下界统一写法如下核心是把硬编码的100、1000、3换成由参数 n 推导出来的表达式def armstrong(n): 返回所有 n 位自幂数 lo 10 ** (n - 1) hi 10 ** n return [x for x in range(lo, hi) if sum(int(ch) ** n for ch in str(x)) x]调用armstrong(3)应该返回[153, 370, 371, 407]。lo和hi的推导值得说一句n 位数的最小值是 1 后面跟 n-1 个 0也就是10**(n-1)最大值是10**n - 1而range的右端是开区间所以直接写10**n正好。这两处只要有一处想岔了结果就会多一个或少一个数量级。跑出来的结果可以列成一张表对一对这张表也是检验你代码正确性的硬基准位数 n自幂数个数10 到 9103153, 370, 371, 407441634, 8208, 94743554748, 92727, 9308436548834171741725, 4210818, 9800817, 99263154注意 n1 的情况需要单独处理一下上面这个函数从10**0 1开始枚举会漏掉 0。0 是不是自幂数取决于你的定义——按「各位数字的 1 次方之和等于自身」0¹ 0成立所以它算。如果题目要求包含 0你需要把下界改成 0 或者单独补一个。这种边界上的定义分歧在实际项目里也很常见遇到时最好先和需求方对齐别自己拍脑袋。4.2 预计算幂表把重复运算压到最低上面那个版本有一个明显的浪费每判断一个数都要重新计算int(ch) ** n。但数字只有 0 到 9 这十种n 次方的结果也就十种完全可以提前算好存成一个列表判断时直接查表def armstrong_fast(n): pw [d ** n for d in range(10)] # 只有 10 个值需要算 lo, hi 10 ** (n - 1), 10 ** n res [] for x in range(lo, hi): if sum(pw[int(ch)] for ch in str(x)) x: res.append(x) return res这段代码在 n3 时的提升不明显但在 n7、n8 时会有肉眼可见的差别因为它把「每个数都要做一遍乘法」变成了「整个流程只做十次乘法」。这个思路在工程里叫空间换时间是最朴素也最常用的一种优化判断的依据很简单如果某个计算的结果只依赖于一个极小的输入集合而这个计算又要被反复执行那就提前算好存起来。我个人的经验是这类小优化在新手阶段可以先不写但一定要知道它存在。因为它的适用面远超这道题——字符串编码映射、颜色值转换、税率分段计算本质上都是同一种模式。4.3 换一种枚举思路按数字组合剪枝前面两条路都是在「枚举所有 n 位数」这个框架里做优化但候选总量本身是指数增长的。n7 时是 900 万个候选n8 时就是 9000 万再往上单机暴力就不太现实了。这时候需要换一个角度看问题。自幂数的判定只和数字的多重集有关和数字的排列顺序无关。153 和 351、513 用的是同一组数字 {1, 3, 5}它们的幂和当然相同。所以与其枚举 900 万个具体的数不如枚举「从 0 到 9 中选 n 个数字可重复的所有组合」组合数量从C(n9, 9)这个量级看n7 时只有一万多种比 900 万小了两个数量级。from itertools import combinations_with_replacement def armstrong_comb(n): pw [d ** n for d in range(10)] res set() for combo in combinations_with_replacement(range(10), n): if combo[0] 0: # 首位为 0 的组合不构成 n 位数 continue v sum(pw[d] for d in combo) if len(str(v)) n and sorted(str(v)) sorted(str(d) for d in combo): res.add(v) return sorted(res)这里最后那行判断是关键算出幂和 v 之后要确认 v 的各位数字排序后和当前枚举的组合完全一致。如果不一致说明我们枚举的组合虽然幂和落在 n 位数的范围内但对应的数其实是另一个组合生成的重复计入会导致结果出错。这套写法我第一次写的时候两次算错一次是忘了排除首位为 0 的组合一次是忘记比对数字多重集直接把幂和收进结果集导致输出里面混进了一堆不该出现的数。所以如果你要试这个版本务必拿前面暴力版的结果做交叉验证——两种独立思路得到相同答案才说明你的剪枝逻辑是对的。5. 高频踩坑与逐步排查的完整链路到这里代码本身已经讲完了但我觉得最有价值的部分还没写那就是当程序输出不对时怎么一步步把问题揪出来。我在帮别人看这段代码时遇到的错误高度集中在几个点上把它们按排查顺序整理出来比单给一份正确代码有用得多。5.1 结果为空时先怀疑取位而不是判定条件程序一个数都不打印这是最常见的症状。很多人的第一反应是「判定条件是不是写反了」然后去改的方向改完还是不对就彻底蒙了。正确的排查顺序应该是从内到外打印中间变量。先在循环里加一行print(n, a, b, c)限定只跑前几个数看看a、b、c是不是真的是个位数字。如果b打印出来是 15 而不是 5说明你漏了% 10如果a打印出来是 1.53 这种小数说明你用了/而不是//。这三个变量只要有一个不对判定条件写得再漂亮都没用。我建议新手养成一个习惯调试这类题的时候先用 153 这一个数手动跑一遍流程。不要在 900 个数的循环里大海捞针直接把n设定为 153打印出三个中间变量一眼就能看出问题。这个习惯放大到工程场景里就是「用最小可复现样本定位问题」非常值得练。5.2 浮点除法、幂次写错与整数溢出这三类暗坑除了取位还有三个坑我见得多坑表现原因修法用/拆位变量带小数条件永不成立/返回浮点结果改用//幂次写成 2 或 4结果为空或数量异常指数和位数不对应检查** 3或** n用int(n/100)求百位大数时偶发偏差浮点精度在极大数时不可靠用整数除法第三条在三位数范围内几乎不会出问题因为三位数的浮点表示是精确的。但这个写法是坏习惯一旦你把它带到处理几百亿规模的场景里就会在某一天莫名其妙地算错一位。Python 的整数是任意精度的//永远给你精确结果没有理由绕道浮点。关于整数溢出很多人从 C 语言转过来会担心这个问题。Python 里基本不用担心大整数是原生支持的2 ** 1000都能精确算出来。所以在 Python 里写这道题你可以放心大胆地往高位去试这是这门语言在这类问题上的一点点便利。5.3 用断言把结果钉死别靠肉眼核对我最后悔的一次是给别人讲这道题时自己写的示例代码里range少写了一千结果输出少了一个数而我当时扫了一眼觉得「差不多就是这几个」就过去了直到对方问「407 后面的那个数怎么没了」才发现。从那之后我给这类练习都配一行自测assert armstrong(3) [153, 370, 371, 407] assert armstrong(4) [1634, 8208, 9474] assert armstrong(5) [54748, 92727, 93084]三行代码把最容易出错的三个位数基准全部锁住。以后你不管怎么重构、怎么优化、怎么加缓存跑一遍就知道有没有改坏。这种先写期望值再写实现的习惯从小练习开始培养比等到写正式项目时再学要便宜得多。6. 从这一道题延伸出去的练习清单如果你把前面几节都跑通了这道题其实已经榨得差不多了。想继续练手的话我按难度递进列几个方向都是围绕同一套能力点展开的变体做完之后你对循环、取位和抽象的掌握会明显不一样。第一个方向是函数化与接口设计。把「判断一个数是否为水仙花数」抽成is_narcissistic(x, n)把「找出范围内所有水仙花数」抽成find_all(lo, hi)。拆完之后你会发现判断和枚举是两件独立的事分开写之后每个函数都变短了也更好测。这是写代码从「一坨」走向「可维护」的第一步。第二个方向是换循环结构。用while循环代替for逐位取数每次divmod之后把商赋回给变量。这个写法不依赖位数天然通用而且能让你真正体会「链式取位」的节奏def digits(x): out [] while x: x, d divmod(x, 10) out.append(d) return out[::-1]第三个方向是换进制。把十进制的自幂数推广到十六进制看看哪些十六进制数满足「各位数字的位数次方和等于自身」。这个变体会把你对int(ch, 16)和字符映射的理解推到新层次也会让你意识到前面字符串法在通用性上的优势。第四个方向是性能对比实验。把暴力枚举、预计算幂表、组合剪枝三个版本放在一起用timeit在 n5、6、7 上各跑一遍画一张对比表。这个实验的意义不在于得出「哪个最快」的结论而在于让你亲眼看到算法层面的优化和代码层面的优化差多少个数量级——组合剪枝带来的提升是预计算幂表怎么优化都追不上的。我个人在做这类练习时的体会是一道题写完之后再问自己一句「如果输入规模放大一千倍这段代码还跑得动吗」往往能牵出一连串真正值得学的东西。水仙花数这道题看起来只是入门练习但顺着这个问号往下走你会碰到剪枝、碰到空间换时间、碰到组合数学最后停在一个比原题有意思得多的位置上。至于那些具体的数字——153、370、371、407——它们更像是这条路上顺手捡到的四块小石子真正留下来的东西是你拆数字、算边界、验结果的那套手感。