FPGA上CORDIC实现sin/cos：从定点设计到上板验证-云帆数科

第一次把 CORDIC 的 Verilog 代码烧进 FPGA我盯着逻辑分析仪的采样窗口看了很久——输入角度线性扫过去,cos 输出确实是一条余弦曲线,但峰值位置比离线脚本算出来的偏了将近两个采样点,零点附近还带着一层说不清的台阶。那时候我才明白,三角函数在 FPGA 里从来不是算得出来就算完事:精度、位宽、收敛域、流水线深度这几件事是绑在一起的,任何一环想当然,结果就是错的,而且错得非常安静,不会有任何报错提示你。这篇内容就是从那次数台阶开始整理出来的。CORDIC 是 FPGA 上算三角函数最经典的一条路,不用乘法器、不用 DSP 硬核,纯靠移位和加法就能把 sin/cos 算出来,资源占用小到可以塞进几乎任何一颗主流中低端 FPGA 里。但它同时也是一门细节决定生死的算法:增益常数差一个 LSB、输入角度越过收敛边界、移位舍入方向搞反,任何一个小失误都能让输出面目全非。下面我会把从定点格式设计、角度折叠、LUT 生成、迭代核编码,到仿真对拍和上板自检的完整链路拆开讲,并附上可以直接编译的 Verilog 代码。适合已经会写基本时序逻辑、想把这套东西真正跑通的人;如果你连 always 块和非阻塞赋值还没完全摸透,建议先把基础时序部分补一补再回来。1. 别急着敲代码CORDIC 在 FPGA 上到底解决了什么麻烦1.1 三条实现路线的真实取舍在动手写第一行 Verilog 之前,先想清楚一件事:你为什么要用 CORDIC,而不是别的方案。FPGA 上算 sin/cos 大致有三条路,每条路的适用场景完全不同,选错了后面所有努力都是白费。第一条路是查找表加线性插值。把 [0, π/2] 区间按 2^k 等分,存一张 sin 表,输入角度落在两个格点之间就做一次线性插值。优点是想得非常明白,延迟固定,精度可控;缺点是表的大小随精度指数增长——想要 16 bit 精度,表深至少 2^16,加上插值乘法器,块 RAM 和 DSP 都要吃不少。对于只需要 8~10 bit 精度的场合,这条路其实最省心,我有时候做快速原型就直接用它。第二条路是调用厂商提供的数学 IP 核。省事,精度有保证,时序也优化过。但它有几个现实问题:换一家器件厂商就得重做一遍,移植性差;IP 的延迟和握手协议往往比较重,嵌进自己的流水线里要额外写一层适配;最关键的是,你很难在 IP 内部插入自己的定点缩放或者特殊处理,一旦需求和 IP 的接口定义对不上,改起来非常别扭。第三条路就是CORDIC。它最大的特点是硬件开销几乎不随精度线性增长:多加一级迭代,只多一组 32 位加减法器和一份移位连线,没有乘法器,没有大表。16 级迭代的资源占用在主流器件上通常只有一两千个查找表,延迟 16 个时钟,吞吐率可以做到每拍一个结果。这种面积小、精度靠迭代次数调、结构高度规则的特性,正好命中 FPGA 的胃口。但 CORDIC 也有它的代价,而且这个代价必须在设计之初就接受:它只擅长算一种东西。旋转模式的 CORDIC 天生就是用来做给一个角度、求它的 cos 和 sin以及给一个向量、求它的模长和相位这两件事的。你要是想拿它算 exp、算 log、算平方根,得换成双曲坐标或者线性坐标的变体,公式和 LUT 全都不一样。别指望一套代码包打天下。1.2 它到底能算多准,以及这个准是怎么定义的很多人第一次接触 CORDIC 会问:这玩意儿能到多少位精度?这个问题没有统一答案,因为精度不是一个固定值,而是迭代次数、内部位宽、LUT 位宽三个因素里取最小的那个。先把关系说清楚。CORDIC 每一级迭代能分辨的最小角度大约是atan(2^-i),当 i 增大时这个值迅速接近2^-i。做 N 级迭代,最后剩下的角度残余误差量级就是2^-(N-1),对应的 sin/cos 输出误差也在同一量级上。所以:迭代级数 N角度分辨率(约)输出有效精度(约)87.8e-3 rad7 bit124.9e-4 rad11 bit163.1e-5 rad15 bit201.9e-6 rad19 bit241.2e-7 rad23 bit301.9e-9 rad29 bit这张表是设计的锚点。你想要 15 bit 精度,就定 16 级;想要接近单精度浮点的效果,就上 24 级。反过来说,如果你的内部数据通路只有 24 位宽,却硬要迭代 30 级,后面几级的移位量已经小于最低位,加减法根本推不动数据,只会形成无意义的抖动——这就是所谓的极限环,后面会专门讲。1.3 本文实现的目标与验收标准为了让后面的每一步都有明确参照,我先把这个实现的目标钉死,你可以照着改:输入:32 位有符号定点角度,格式 Q3.29,单位弧度,约定输入范围|angle| π输出:两路 32 位有符号定点,格式 Q1.31,分别是 cos 和 sin迭代级数:参数化,默认 16 级,可改到 24结构:全流水线,每拍吞吐一个结果,延迟等于迭代级数加若干拍验收:在 [-π, π] 区间均匀取 1024 个点,与双精度参考值对比,最大绝对误差控制在 1e-5 以内这个目标不算苛刻,但它把能跑和能用区分开了。后面所有章节都是围绕怎么稳稳地达成这个验收标准展开的。2. 把一次大旋转拆成 N 次小旋转CORDIC 的几何直觉与增益账2.1 从旋转矩阵到移位加法CORDIC 的核心思想用一句话就能说完:**与其一次性把向量旋转 θ 角,不如分成 N 次

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