高数题目：等价无穷小求参数09p2-云帆数科

高数题目等价无穷小求参数题目当x→0x \to 0x→0时f(x)x−sin⁡axf(x) x - \sin axf(x)x−sinax与g(x)x2ln⁡(1−bx)g(x) x^2 \ln(1 - bx)g(x)x2ln(1−bx)是等价无穷小则(A)a1,b−16a1,b-\dfrac16a1,b−61(B)a1,b16a1,b\dfrac16a1,b61©a−1,b−16a-1,b-\dfrac16a−1,b−61(D)a−1,b16a-1,b\dfrac16a−1,b61等价无穷小定义lim⁡x→0f(x)g(x)1\boldsymbol{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)} 1}x→0limg(x)f(x)1前置知识点小白必记sin⁡uu−u36o(u3)\boldsymbol{\sin u u - \dfrac{u^3}{6}o(u^3)}sinuu−6u3o(u3)麦克劳林展开u→0u\to0u→0ln⁡(1u)∼u(u→0)\boldsymbol{\ln(1u)\sim u \quad(u\to0)}ln(1u)∼u(u→0)也就是ln⁡(1−bx)∼−bx, x→0\ln(1-bx)\sim -bx,\ x\to0ln(1−bx)∼−bx,x→0等价无穷小替换规则乘除可以直接替换加减不能随便替换这里用泰勒展开最稳妥步骤1分别做展开/等价替换先处理分母g(x)g(x)g(x)g(x)x2ln⁡(1−bx)∼x2⋅(−bx)−bx3 g(x)x^2\ln(1-bx) \sim x^2\cdot(-bx) -b x^3g(x)x2ln(1−bx)∼x2⋅(−bx)−bx3g(x)g(x)g(x)是3阶无穷小所以f(x)x−sin⁡axf(x)x-\sin axf(x)x−sinax也必须是3阶无穷小。对sin⁡ax\sin axsinax泰勒展开sin⁡axax−(ax)36o(x3) \sin ax ax - \dfrac{(ax)^3}{6}o(x^3)sinaxax−6(ax)3o(x3)f(x)x−sin⁡axx−[ax−a3x36o(x3)](1−a)xa36x3o(x3) \begin{aligned} f(x) x-\sin ax \\ x - \left[ax - \dfrac{a^3x^3}{6}o(x^3)\right] \\ (1-a)x \dfrac{a^3}{6}x^3 o(x^3) \end{aligned}f(x)x−sinaxx−[ax−6a3x3o(x3)](1−a)x6a3x3o(x3)如果1−a≠01-a\neq01−a0那么f(x)f(x)f(x)是1阶无穷小和g(x)g(x)g(x)的3阶不可能等价所以必须让一次项系数等于01−a0 ⟹ a1 1-a 0 \implies \boldsymbol{a1}1−a0⟹a1代入a1a1a1f(x)0⋅x136x3o(x3)16x3o(x3) f(x) 0\cdot x \dfrac{1^3}{6}x^3 o(x^3) \dfrac16 x^3 o(x^3)f(x)0⋅x613x3o(x3)61x3o(x3)步骤2利用等价无穷小极限1lim⁡x→0f(x)g(x)lim⁡x→016x3−bx316−b1 \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} \lim_{x\to0}\frac{\dfrac16 x^3}{-b x^3} \frac{\dfrac16}{-b}1x→0limg(x)f(x)x→0lim−bx361x3−b611解方程1−6b1 ⟹ −6b1 ⟹ b−16 \frac{1}{-6b}1 \implies -6b1 \implies \boldsymbol{b-\dfrac16}−6b11⟹−6b1⟹b−61得到a1, b−16a1,\;b-\dfrac16a1,b−61选A易错点总结不要直接对x−sin⁡axx-\sin axx−sinax随便等价加减形式无穷小不能直接替换优先泰勒展开注意ln⁡(1−bx)∼−bx\ln(1-bx)\sim -bxln(1−bx)∼−bx这里自带负号很多同学符号算错直接选B先判断阶数g(x)g(x)g(x)是x3x^3x3量级所以f(x)f(x)f(x)的一次项必须消掉是突破口麦克劳林公式sin⁡uu−u36\sin uu-\dfrac{u^3}{6}sinuu−6u3一定要背熟。验算a1,b−16a1,b-\dfrac16a1,b−61g(x)∼−bx3−(−16)x316x3g(x)\sim -bx^3 -(-\dfrac16)x^3\dfrac16x^3g(x)∼−bx3−(−61)x361x3f(x)x−sin⁡x∼16x3f(x)x-\sin x\sim \dfrac16 x^3f(x)x−sinx∼61x3两者等价 ✔

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